2005 AMC 12B Problema 8

Question

¿Para cuántos valores de

a

es cierto que la recta

y = x + a

pasa por el vértice de la parábola

y = x^2 + a^2

?

For how many values of

a

is it true that the line

y = x + a

passes through the vertex of the parabola

y = x^2 + a^2?

0

1

2

10

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

El vértice de

y = x^2 + a^2

es

(0, a^2)

.

The vertex of

y = x^2 + a^2

is

(0, a^2)

Pista grande:

Sustituye el vértice en la recta para obtener

a^2 = a

.

Substitute the vertex into the line to get

a^2 = a

Solución:

El vértice de la parábola

y = x^2 + a^2

es

(0, a^2).

La recta

y = x + a

pasa por él exactamente cuando

a^2 = 0 + a,

es decir

a^2 - a = 0.

Esto da

a = 0

o

a = 1,

así que hay

2

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertex of the parabola

y = x^2 + a^2

is

(0, a^2).

The line

y = x + a

passes through it exactly when

a^2 = 0 + a,

that is

a^2 - a = 0.

This gives

a = 0

or

a = 1,

so there are

2

values.

Thus, the correct answer is C.