2005 AMC 12B Problema 22

Question

Una sucesión de números complejos

z_0,

z_1,

z_2,

\ldots

se define por la regla

z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},

donde

\overline{z_n}

es el conjugado complejo de

z_n

e

i^2 = -1.

Supongamos que

|z_0| = 1

y

z_{2005} = 1.

¿Cuántos valores posibles hay para

z_0

?

A sequence of complex numbers

z_0,

z_1,

z_2,

\ldots

is defined by the rule

z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}},

where

\overline{z_n}

is the complex conjugate of

z_n

and

i^2 = -1.

Suppose that

|z_0| = 1

and

z_{2005} = 1.

How many possible values are there for

z_0?

1

2

4

2005

2^{2005}

Respuesta: E

Conceptos:número complejo raíces de la unidad recursión

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Como

|z_n| = 1,

\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n},

así que

z_{n+1} = i z_n^2

.

Since

|z_n| = 1,

\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n},

so

z_{n+1} = i z_n^2

Pista grande:

Al iterar se obtiene

z_n

como una constante fija por

z_0^{2^n}

; cuenta las raíces de la ecuación resultante.

Iterating gives

z_n

as a fixed constant times

z_0^{2^n}

; count roots of the resulting equation

Solución:

Como

|z_0| = 1,

todo

|z_n| = 1,

así que

\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}

y

z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.

Al iterar,

z_1 = i z_0^2

y

z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4.

Además, si

z_n=-i z_0^{2^n},

entonces

z_{n+1}=i(-i)^2z_0^{2^{n+1}}=-i z_0^{2^{n+1}}.

Por tanto,

z_n=-i z_0^{2^n}

para todo

n\ge2.

La condición

z_{2005} = 1

equivale entonces a

z_0^{2^{2005}} = i.

Toda ecuación compleja no nula

z_0^{N} = i

tiene exactamente

N

soluciones distintas, todas sobre la circunferencia unitaria.

Aquí

N = 2^{2005},

así que hay

2^{2005}

valores posibles de

z_0.

Así, la respuesta correcta es E.

Because

|z_0| = 1,

every

|z_n| = 1,

so

\overline{z_n} = \dfrac{1}{z_n}

and

z_{n+1} = \dfrac{i z_n}{\overline{z_n}} = i z_n^2.

Iterating,

z_1 = i z_0^2

and

z_2 = i(i z_0^2)^2 = -i z_0^4.

Moreover, if

z_n=-i z_0^{2^n},

then

z_{n+1}=i(-i)^2z_0^{2^{n+1}}=-i z_0^{2^{n+1}}.

Thus

z_n=-i z_0^{2^n}

for every

n\ge2.

The condition

z_{2005} = 1

is therefore

z_0^{2^{2005}} = i.

Every nonzero complex equation

z_0^{N} = i

has exactly

N

distinct solutions, all on the unit circle.

Here

N = 2^{2005},

so there are

2^{2005}

possible values for

z_0.

Thus, the correct answer is E.