2005 AMC 12A Problema 10

Question

Un cubo de madera de

n

unidades de lado se pinta de rojo en las seis caras y luego se corta en

n^3

cubos unitarios. Exactamente una cuarta parte del número total de caras de los cubos unitarios es roja. ¿Cuánto vale

n

?

A wooden cube

n

units on a side is painted red on all six faces and then cut into

n^3

unit cubes. Exactly one-fourth of the total number of faces of the unit cubes are red. What is

n?

3

4

5

6

7

Cuenta el número total de caras de los cubos pequeños y cuántas de ellas son rojas.

Count the total number of small-cube faces and the number that are red

En total hay

6n^3

caras y

6n^2

rojas.

There are

6n^3

faces in all and

6n^2

red ones

Los

n^3

cubos unitarios tienen

6n^3

caras en total. Las caras rojas son exactamente la superficie del cubo original,

6n^2

de ellas.

Igualando la fracción roja a un cuarto,

\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},

así que

n = 4.

Así, la respuesta correcta es B.

The

n^3

unit cubes have

6n^3

faces total. The red faces are exactly the surface of the original cube,

6n^2

of them.

Setting the red fraction to one-fourth,

\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},

so

n = 4.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 10 en otros años