2004 AMC 12B Problema 16

Question

Una función

f

se define por

f(z) = i\overline{z},

donde

i = \sqrt{-1}

y

\overline{z}

es el conjugado complejo de

z.

¿Cuántos valores de

z

satisfacen a la vez

|z| = 5

y

f(z) = z

?

A function

f

is defined by

f(z) = i\overline{z},

where

i = \sqrt{-1}

and

\overline{z}

is the complex conjugate of

z.

How many values of

z

satisfy both

|z| = 5

and

f(z) = z?

0

1

2

4

8

Respuesta: C

Conceptos:número complejo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Escribe

z = x + iy

y calcula

i\overline{z}

.

Write

z = x + iy

and compute

i\overline{z}

Pista grande:

f(z) = z

fuerza

y = x,

una recta; interséctala con el círculo

|z| = 5

.

f(z) = z

forces

y = x,

a line; intersect it with the circle

|z| = 5

Solución:

Escribiendo

z = x + iy,

obtenemos

f(z) = i(x - iy) = y + ix.

Poner

f(z) = z

da

y = x,

que es una recta que pasa por el origen. La condición

|z| = 5

es un círculo, y una recta que pasa por el centro corta al círculo en

2

puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing

z = x + iy,

we get

f(z) = i(x - iy) = y + ix.

Setting

f(z) = z

gives

y = x,

which is a line through the origin. The condition

|z| = 5

is a circle, and a line through the center meets the circle in

2

points.

Thus, the correct answer is C.