2004 AMC 12B Problema 10

Question

Una corona circular es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios

b

y

c,

con

b \gt c.

Sea

\overline{OX}

un radio del círculo mayor, sea

\overline{XZ}

tangente al círculo menor en

Z,

y sea

\overline{OY}

el radio del círculo mayor que contiene a

Z.

Sean

a = XZ,

d = YZ,

y

e = XY.

¿Cuál es el área de la corona circular?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii

b

and

c,

with

b \gt c.

Let

\overline{OX}

be a radius of the larger circle, let

\overline{XZ}

be tangent to the smaller circle at

Z,

and let

\overline{OY}

be the radius of the larger circle that contains

Z.

Let

a = XZ,

d = YZ,

and

e = XY.

What is the area of the annulus?

\pi a^2

\pi b^2

\pi c^2

\pi d^2

\pi e^2

Respuesta: A

Conceptos:corona circular recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

El área de la corona circular es

\pi b^2 - \pi c^2

.

The annulus area is

\pi b^2 - \pi c^2

Pista grande:

Como

\overline{XZ}

es tangente,

\triangle OZX

es rectángulo en

Z,

así que

b^2 - c^2 = a^2

.

Since

\overline{XZ}

is tangent,

\triangle OZX

is right-angled at

Z,

so

b^2 - c^2 = a^2

Solución:

El área de la corona circular es

\pi b^2 - \pi c^2.

Como

\overline{XZ}

es tangente al círculo menor en

Z,

es perpendicular al radio

\overline{OZ},

así que

\triangle OZX

es rectángulo en

Z.

Entonces

b^2 = c^2 + a^2,

lo que da

b^2 - c^2 = a^2.

El área es

\pi a^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus area is

\pi b^2 - \pi c^2.

Because

\overline{XZ}

is tangent to the smaller circle at

Z,

it is perpendicular to radius

\overline{OZ},

so

\triangle OZX

is right-angled at

Z.

Then

b^2 = c^2 + a^2,

giving

b^2 - c^2 = a^2.

The area is

\pi a^2.

Thus, the correct answer is A.