2004 AMC 12A Problema 8

Question

En la figura,

\angle EAB

y

\angle ABC

son ángulos rectos,

AB = 4,

BC = 6,

AE = 8,

y

\overline{AC}

y

\overline{BE}

se cortan en

D.

¿Cuál es la diferencia entre las áreas de

\triangle ADE

y

\triangle BDC

?

In the figure,

\angle EAB

and

\angle ABC

are right angles,

AB = 4,

BC = 6,

AE = 8,

and

\overline{AC}

and

\overline{BE}

intersect at

D.

What is the difference between the areas of

\triangle ADE

and

\triangle BDC?

2

4

5

8

9

Respuesta: B

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Suma el triángulo común

\triangle ABD

a cada uno de los dos triángulos.

Add the shared triangle

\triangle ABD

to each of the two triangles

Pista grande:

La diferencia es igual a

[\triangle ABE] - [\triangle ABC]

.

The difference equals

[\triangle ABE] - [\triangle ABC]

Solución:

Sean

x,

y,

y

z

las áreas de

\triangle ADE,

\triangle BDC,

y

\triangle ABD,

respectivamente.

Entonces

\triangle ABE

tiene área

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,

y

\triangle ABC

tiene área

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z.

La diferencia buscada es

\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

x,

y,

and

z

be the areas of

\triangle ADE,

\triangle BDC,

and

\triangle ABD,

respectively.

Then

\triangle ABE

has area

\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,

and

\triangle ABC