2004 AMC 12A Problema 19

Question

Las circunferencias

A,

B,

y

C

son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a la circunferencia

D.

Las circunferencias

B

y

C

son congruentes. La circunferencia

A

tiene radio

1

y pasa por el centro de

D.

¿Cuál es el radio de la circunferencia

B

?

Circles

A,

B,

and

C

are externally tangent to each other and internally tangent to circle

D.

Circles

B

and

C

are congruent. Circle

A

has radius

1

and passes through the center of

D.

What is the radius of circle

B?

\dfrac{2}{3}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{7}{8}

\dfrac{8}{9}

\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Como

A

pasa por el centro de

D

y es tangente internamente, la circunferencia

D

tiene radio

2

.

Since

A

passes through the center of

D

and is internally tangent, circle

D

has radius

2

Pista grande:

Coloca el centro de

D

en el origen; usa los triángulos rectángulos formados por los centros y el eje de simetría.

Place the center of

D

at the origin; use right triangles formed by the centers and the axis of symmetry

Solución:

La circunferencia

A

tiene radio

1

y pasa por el centro de

D

mientras es tangente internamente a

D,

así que

D

tiene radio

2.

Coloca el centro de

D

en el origen, con

A

centrada en

(-1, 0).

Por simetría,

B

tiene centro

(x, y)

y radio

r,

con

C

su imagen especular respecto al eje horizontal, así que las dos circunferencias congruentes se tocan sobre ese eje y

y = r.

La tangencia interna a

D

da

x^2 + y^2 = (2 - r)^2,

y la tangencia externa a

A

da

(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.

Restando y usando

y = r

se obtiene

x = \tfrac23

y

r = \tfrac89.

El radio de la circunferencia

B

es

\tfrac89.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Circle

A

has radius

1

and passes through the center of

D

while being internally tangent to

D,

so

D

has radius

2.

Place the center of

D

at the origin, with

A

centered at

(-1, 0).

By symmetry,

B

has center

(x, y)

and radius

r,

with

C

its mirror image across the horizontal axis, so the two congruent circles touch on that axis and

y = r.

Internal tangency to

D

gives

x^2 + y^2 = (2 - r)^2,

and external tangency to

A

gives

(x + 1)^2 + y^2 = (1 + r)^2.

Subtracting and using

y = r

yields

x = \tfrac23

and

r = \tfrac89.

The radius of circle

B

is

\tfrac89.

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años