2004 AMC 12A Problema 16

Question

El conjunto de todos los números reales

x

para los cuales

\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))

está definido es

\{x \mid x \gt c\}.

¿Cuál es el valor de

c

?

The set of all real numbers

x

for which

\small \log_{2004}(\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)))

is defined is

\{x \mid x \gt c\}.

What is the value of

c?

0

2001^{2002}

2002^{2003}

2003^{2004}

2001^{2002^{2003}}

Trabaja de afuera hacia adentro: cada logaritmo requiere que su argumento sea positivo.

Work from the outside in: each logarithm requires its argument to be positive

\log_{2004}(\cdots)

está definido solo cuando

\log_{2003}(\cdots) \gt 0,

es decir, cuando el siguiente argumento excede

1

.

\log_{2004}(\cdots)

is defined only when

\log_{2003}(\cdots) \gt 0,

i.e. the next argument exceeds

1

La expresión está definida si y solo si

\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0,

es decir,

\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1.

Esto se cumple si y solo si

\log_{2001} x \gt 2002,

lo que equivale a

x \gt 2001^{2002}.

Por consiguiente,

c = 2001^{2002}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The expression is defined if and only if

\log_{2003}(\log_{2002}(\log_{2001} x)) \gt 0,

that is,

\log_{2002}(\log_{2001} x) \gt 1.

This holds if and only if

\log_{2001} x \gt 2002,

which is equivalent to

x \gt 2001^{2002}.

Therefore

c = 2001^{2002}.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años