2003 AMC 12B Problema 8

Question

Sea

\clubsuit(x)

la suma de los dígitos del entero positivo

x.

Por ejemplo,

\clubsuit(8) = 8

y

\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.

¿Para cuántos valores de dos dígitos de

x

se cumple

\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3

?

Let

\clubsuit(x)

denote the sum of the digits of the positive integer

x.

For example,

\clubsuit(8) = 8

and

\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.

For how many two-digit values of

x

is

\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3?

3

4

6

9

10

Respuesta: E

Conceptos:dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Sea

y = \clubsuit(x).

Para un

x

de dos dígitos,

y

está entre

1

y

18

Let

y = \clubsuit(x).

For a two-digit

x,

y

is between

1

and

18

Pista grande:

\clubsuit(y) = 3

obliga a

y = 3

o

y = 12;

cuenta los

x

de dos dígitos con cada suma de dígitos

\clubsuit(y) = 3

forces

y = 3

or

y = 12;

count two-digit

x

with each digit sum

Solución:

Sea

y = \clubsuit(x).

Como

x \le 99,

tenemos

y \le 18.

Entonces

\clubsuit(y) = 3

requiere

y = 3

o

y = 12.

Los números de dos dígitos con suma de dígitos

3

son

12, 21, 30

(

3

valores), y los que tienen suma de dígitos

12

son

39, 48, 57, 66, 75, 84, 93

(

7

valores), para un total de

10

en conjunto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

y = \clubsuit(x).

Since

x \le 99,

we have

y \le 18.

Then

\clubsuit(y) = 3

requires

y = 3

or

y = 12.

The two-digit numbers with digit sum

3

are

12, 21, 30

(

3

values), and those with digit sum

12

are

39, 48, 57, 66, 75, 84, 93

(

7

values), for

10

in all.

Thus, the correct answer is E.