2003 AMC 12B Problema 22

Question

Sea

ABCD

un rombo con

AC = 16

y

BD = 30.

Sea

N

un punto en

\overline{AB},

y sean

P

y

Q

los pies de las perpendiculares desde

N

a

\overline{AC}

y

\overline{BD},

respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al mínimo valor posible de

PQ

?

Let

ABCD

be a rhombus with

AC = 16

and

BD = 30.

Let

N

be a point on

\overline{AB},

and let

P

and

Q

be the feet of the perpendiculars from

N

to

\overline{AC}

and

\overline{BD},

respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of

PQ?

6.5

6.75

7

7.25

7.5

Respuesta: C

Conceptos:rombo altura optimización

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Sea

O

el centro; las diagonales se cruzan en ángulo recto, así que

OPNQ

es un rectángulo y

PQ = ON

Let

O

be the center; the diagonals meet at right angles, so

OPNQ

is a rectangle and

PQ = ON

Pista grande:

ON

es mínimo cuando

N

es el pie de la altura desde

O

en el triángulo rectángulo

AOB

con catetos

8

y

15

ON

is smallest when

N

is the foot of the altitude from

O

in right triangle

AOB

with legs

8

and

15

Solución:

Sea

O

la intersección de las diagonales. Entonces el

\triangle AOB

es rectángulo en

O

con catetos

OA = 8

y

OB = 15.

El cuadrilátero

OPNQ

tiene ángulos rectos en

O,

P,

y

Q,

así que es un rectángulo y

PQ = ON.

El mínimo de

ON

es la altura desde

O

hasta

\overline{AB}

en el

\triangle AOB.

Como

AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,

al igualar las dos expresiones del área se obtiene

\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}

Esto es lo más cercano a

7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

O

be the intersection of the diagonals. Then

\triangle AOB

is right-angled at

O

with legs

OA = 8

and

OB = 15.

Quadrilateral

OPNQ

has right angles at

O,

P,

and

Q,

so it is a rectangle and

PQ = ON.

The minimum of

ON

is the altitude from

O

to

\overline{AB}

in

\triangle AOB.

Since

AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,

equating the two area expressions gives

\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}

This is closest to

7.

Thus, the correct answer is C.