2001 AMC 12 Problema 19

Question

El polinomio

P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

tiene la propiedad de que la media de sus ceros, el producto de sus ceros y la suma de sus coeficientes son todos iguales. Si la intersección con el eje

y

de la gráfica de

y = P(x)

es

2,

¿cuánto vale

b

?

The polynomial

P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

has the property that the mean of its zeros, the product of its zeros, and the sum of its coefficients are all equal. If the

y

-intercept of the graph of

y = P(x)

is

2,

what is

b?

-11

-10

-9

1

5

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Por Vieta, la suma de los ceros es

-a

y el producto es

-c;

la suma de coeficientes es

P(1)

By Vieta, the sum of the zeros is

-a

and the product is

-c;

the sum of coefficients is

P(1)

Pista grande:

La intersección con el eje

y

da

c = 2,

así que el valor común es el producto de los ceros

The

y

-intercept gives

c = 2,

so the common value is the product of the zeros

Solución:

La intersección con el eje

y

es

P(0) = c = 2.

Por las fórmulas de Vieta, el producto de los ceros es

-c = -2,

la media de los ceros es

-\dfrac{a}{3},

y la suma de los coeficientes es

P(1) = 1 + a + b + c.

Los tres son iguales a

-2.

De

-\dfrac{a}{3} = -2

obtenemos

a = 6.

Entonces

1 + a + b + c = -2

se convierte en

1 + 6 + b + 2 = -2,

así que

b = -11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The

y

-intercept is

P(0) = c = 2.

By Vieta’s formulas the product of the zeros is

-c = -2,

the mean of the zeros is

-\dfrac{a}{3},

and the sum of the coefficients is

P(1) = 1 + a + b + c.

All three are equal to

-2.

From

-\dfrac{a}{3} = -2

we get

a = 6.

Then

1 + a + b + c = -2

becomes

1 + 6 + b + 2 = -2,

so

b = -11.

Thus, the correct answer is A.