2000 AMC 12 Problema 9

Question

La señora Walter tomó un examen en una clase de matemáticas de cinco estudiantes. Introdujo las calificaciones en orden aleatorio en una hoja de cálculo, que recalculaba el promedio de la clase después de introducir cada calificación. La señora Walter notó que, después de introducir cada calificación, el promedio siempre era un entero. Las calificaciones (en orden ascendente) eran

71,

76,

80,

82,

y

91.

¿Cuál fue la última calificación que introdujo la señora Walter?

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were

71,

76,

80,

82,

and

91.

What was the last score Mrs. Walter entered?

71

76

80

82

91

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad aritmética modular media

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

La suma de las primeras

k

calificaciones introducidas debe ser divisible por

k

.

The sum of the first

k

scores entered must be divisible by

k

Pista grande:

Usa la divisibilidad por

3

y luego por

4

; los residuos de las calificaciones módulo

3

son

2, 1, 2, 1, 1

.

Use divisibility by

3

then by

4

; the residues of the scores modulo

3

are

2, 1, 2, 1, 1

Solución:

El total es

71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400,

que es divisible por

5.

La suma de las tres primeras calificaciones debe ser divisible por

3.

Módulo

3,

las calificaciones son

2, 1, 2, 1, 1.

La única terna cuya suma es múltiplo de

3

es

76 + 82 + 91 = 249,

así que estas son las tres primeras (con

91

en tercer lugar, ya que las dos primeras,

76

y

82,

deben tener la misma paridad).

Como

249 \equiv 1 \pmod 4,

la cuarta calificación debe ser

\equiv 3 \pmod 4,

que es

71.

Eso deja

80

como la última calificación introducida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total is

71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400,

which is divisible by

5.

The sum of the first three scores must be divisible by

3.

Modulo

3,

the scores are

2, 1, 2, 1, 1.

The only triple summing to a multiple of

3

is

76 + 82 + 91 = 249,

so these are the first three (with

91

third, since the first two,

76

and

82,

must have equal parity).

Since

249 \equiv 1 \pmod 4,

the fourth score must be

\equiv 3 \pmod 4,

which is

71.

That leaves

80

as the last score entered.

Thus, the correct answer is C.