2000 AMC 12 Problema 24

Question

Si los arcos circulares

AC

y

BC

tienen centros en

B

y

A,

respectivamente, entonces existe un círculo tangente tanto al arco

AC

como al arco

BC,

y a

\overline{AB}.

Si la longitud del arco

BC

es

12,

¿cuál es la circunferencia del círculo?

If circular arcs

AC

and

BC

have centers at

B

and

A,

respectively, then there exists a circle tangent to both arc

AC

and arc

BC,

and to

\overline{AB}.

If the length of arc

BC

is

12,

then what is the circumference of the circle?

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Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto circunferencias tangentes arco

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Ambos arcos tienen radio

AB,

y

C

está a distancia

AB

tanto de

A

como de

B,

así que

\triangle ABC

es equilátero.

Both arcs have radius

AB,

and

C

is at distance

AB

from both

A

and

B,

so

\triangle ABC

is equilateral

Pista grande:

Usa la potencia de un punto en

A

con

AD = \tfrac12 AB

para hallar el radio del círculo pequeño

r = \tfrac38 AB

.

Use Power of a Point at

A

with

AD = \tfrac12 AB

to find the small circle’s radius

r = \tfrac38 AB

Solución:

Cada arco tiene radio

AB,

y

C

está a distancia

AB

tanto de

A

como de

B,

así que

\triangle ABC

es equilátero. Por lo tanto, el arco

BC

subtiende

60^\circ

de un círculo de radio

AB,

cuya circunferencia completa es

6 \cdot 12 = 72.

Sea el círculo pequeño de radio

r

que toca

\overline{AB}

en su punto medio

D,

donde

AD = \tfrac12 AB.

Por la potencia de un punto,

AD^2 = AB(AB - 2r),

así que

\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,

dando

2r = \tfrac34 AB,

y por lo tanto

r = \tfrac38 AB.

Las circunferencias están en la razón de los radios, así que la circunferencia del círculo pequeño es

\tfrac38 \cdot 72 = 27

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each arc has radius

AB,

and

C

is at distance

AB

from both

A

and

B,

so

\triangle ABC

is equilateral. Thus arc

BC

subtends

60^\circ

of a circle of radius

AB,

whose full circumference is

6 \cdot 12 = 72.

Let the small circle have radius

r

and touch

\overline{AB}

at its midpoint

D,

where

AD = \tfrac12 AB.

By Power of a Point,

AD^2 = AB(AB - 2r),

so

\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,

giving

2r = \tfrac34 AB,

hence

r = \tfrac38 AB.

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle’s circumference is

\tfrac38 \cdot 72 = 27.

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años