1999 AMC 12 Problema 19

Question

Considera todos los triángulos

ABC

que satisfacen las siguientes condiciones:

AB = AC,

D

es un punto sobre

\overline{AC}

para el cual

\overline{BD} \perp \overline{AC},

AD

y

CD

son enteros, y

BD^2 = 57.

Entre todos esos triángulos, el menor valor posible de

AC

es

Consider all triangles

ABC

satisfying the following conditions:

AB = AC,

D

is a point on

\overline{AC}

for which

\overline{BD} \perp \overline{AC},

AD

and

CD

are integers, and

BD^2 = 57.

Among all such triangles, the smallest possible value of

AC

is

9

10

11

12

13

Respuesta: C

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

El triángulo rectángulo

ADB

da

AB^2 = AD^2 + BD^2

.

Right triangle

ADB

gives

AB^2 = AD^2 + BD^2

Pista grande:

Con

AB = AC = AD + CD,

reduce a

CD(CD + 2\,AD) = 57

.

With

AB = AC = AD + CD,

reduce to

CD(CD + 2\,AD) = 57

Solución:

Sea

AD = n

y

CD = m.

Como

\triangle ADB

es rectángulo en

D,

AB^2 = n^2 + 57.

Además

AB = AC = m + n,

así que

(m + n)^2 = n^2 + 57,

lo que se simplifica a

m(m + 2n) = 57.

Las soluciones enteras positivas son

m = 1, n = 28

(que dan

AC = 29

) y

m = 3, n = 8

(que dan

AC = 11

). El menor valor posible de

AC

es

11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

AD = n

and

CD = m.

Since

\triangle ADB

is right-angled at

D,

AB^2 = n^2 + 57.

Also

AB = AC = m + n,

so

(m + n)^2 = n^2 + 57,

which simplifies to

m(m + 2n) = 57.

The positive integer solutions are

m = 1, n = 28

(giving

AC = 29

) and

m = 3, n = 8