1998 AMC 12 Problema 8

Question

Un cuadrado de lado

1

se divide en dos trapecios congruentes y un pentágono de áreas iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos de tres de sus lados, como se muestra. Halla

x,

la longitud del lado paralelo mayor de cada trapecio.

A square with sides of length

1

is divided into two congruent trapezoids and a pentagon, which have equal areas, by joining the center of the square with points on three of the sides, as shown. Find

x,

the length of the longer parallel side of each trapezoid.

\frac35

\frac23

\frac34

\frac56

\frac78

Respuesta: D

Conceptos:trapezoid area equal areas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cada una de las tres regiones tiene área

\frac{1}{3}

Each of the three regions has area

\frac{1}{3}

Pista grande:

Cada trapecio tiene altura

\frac{1}{2}

y lados paralelos

x

y

\frac{1}{2}

A trapezoid has height

\frac{1}{2}

and parallel sides

x

and

\frac{1}{2}

Solución:

Cada trapecio tiene área

\frac{1}{3}.

Su altura es

\frac{1}{2},

y sus lados paralelos miden

x

y

\frac{1}{2}.

Por tanto,

\frac12\cdot\frac12\left(x+\frac12\right)=\frac13,

lo que da

x=\frac{5}{6}.

Así, la respuesta correcta es D.

Each trapezoid has area

\frac{1}{3}.

Its height is

\frac{1}{2},

and its parallel sides have lengths

x

and

\frac{1}{2}.

Therefore

\frac12\cdot\frac12\left(x+\frac12\right)=\frac13,

which gives

x=\frac{5}{6}.

Thus D is correct.