1996 AMC 12 Problema 19

Question

Los puntos medios de los lados de un hexágono regular

ABCDEF

se unen para formar un hexágono menor. ¿Qué fracción del área de

ABCDEF

queda encerrada por el hexágono menor?

The midpoints of the sides of a regular hexagon

ABCDEF

are joined to form a smaller hexagon. What fraction of the area of

ABCDEF

is enclosed by the smaller hexagon?

\frac12

\frac{\sqrt3}{3}

\frac23

\frac34

\frac{\sqrt3}{2}

Compara la distancia entre los puntos medios de dos lados adyacentes con la longitud del lado original

Compare the distance between adjacent side midpoints with the original side length

Los hexágonos menor y mayor son semejantes, así que eleva al cuadrado la razón de sus lados

The smaller and larger hexagons are similar, so square their side-length ratio

Dos puntos medios adyacentes y su vértice común forman un triángulo con dos lados de longitud

\frac{s}{2}

y ángulo comprendido de

120^\circ.

El cuadrado de la longitud del lado opuesto es

\begin{aligned} \frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4} &-2\left(\frac{s}{2}\right)^2\cos120^\circ\\ &=\frac{3s^2}{4}. \end{aligned}

Por tanto, el hexágono menor tiene factor de escala

\frac{\sqrt3}{2},

y su razón de áreas es

\frac{3}{4}.

La respuesta correcta es D.

Two adjacent midpoints and their shared vertex form a triangle with two sides

\frac{s}{2}

and included angle

120^\circ.

Its opposite side has squared length

\begin{aligned} \frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4} &-2\left(\frac{s}{2}\right)^2\cos120^\circ\\ &=\frac{3s^2}{4}. \end{aligned}

Thus the smaller hexagon has scale factor

\frac{\sqrt3}{2},

and its area ratio is

\frac{3}{4}.

The correct answer is D.

El Problema 19 en otros años