1996 AMC 12 Problema 11

Question

Dado un círculo de radio

2,

hay muchos segmentos de longitud

2

tangentes al círculo en sus puntos medios. Halla el área de la región formada por todos esos segmentos.

Given a circle of radius

2,

there are many line segments of length

2

that are tangent to the circle at their midpoints. Find the area of the region consisting of all such line segments.

\frac{\pi}{4}

4-\pi

\frac{\pi}{2}

\pi

2\pi

Cada segmento tangente se extiende una unidad en cada dirección desde su punto medio

Each tangent segment extends one unit in each direction from its midpoint

Usa un triángulo rectángulo desde el centro del círculo para hallar los radios interior y exterior de la región barrida

Use a right triangle from the circle’s center to locate the inner and outer radii of the swept region

Cada segmento está centrado en un punto de tangencia situado a

2

unidades del centro del círculo y se extiende

1

unidad sobre la tangente en ambas direcciones. Al girar el punto de tangencia, los segmentos llenan el anillo de radio interior

2

y radio exterior

\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.

Su área es

\pi(5-4)=\pi,

así que la respuesta correcta es D.

Each segment is centered at a tangency point

2

units from the circle’s center and extends

1

unit along the tangent in both directions. As the tangency point rotates, the segments fill the annulus with inner radius

2

and outer radius

\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.

Its area is

\pi(5-4)=\pi,

so the correct answer is D.

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