1995 AMC 12 Problema 19

Question

El triángulo equilátero

DEF

está inscrito en el triángulo equilátero

ABC

como se muestra, con

\overline{DE}\perp\overline{BC}.

La razón entre el área de

\triangle DEF

y la de

\triangle ABC

es

Equilateral triangle

DEF

is inscribed in equilateral triangle

ABC

as shown with

\overline{DE}\perp\overline{BC}.

The ratio of the area of

\triangle DEF

to the area of

\triangle ABC

is

\frac16

\frac14

\frac13

\frac25

\frac12

Respuesta: C

Conceptos:equilateral triangles coordinates area ratios

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Supón que el triángulo exterior tiene lado

1

y el interior tiene lado

s

Let the outer triangle have side

1

and the inner triangle have side

s

Pista grande:

Usa las pendientes de

60^\circ

de los lados junto con el hecho de que

\overline{DE}

es vertical

Use the

60^\circ

side slopes together with the fact that

\overline{DE}

is vertical

Solución:

Sea

ABC

de lado

1,

con

B=(0,0)

y

C=(1,0).

Si el lado interior es

s,

escribe

D=(d,0)

y

E=(d,s).

Como

E

está sobre

AC,

s=\sqrt3(1-d).

El tercer vértice interior es

F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),

y

F

está sobre

AB,

por lo que

\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),

de donde

d=\frac{2s}{\sqrt3}.

Al sustituir se obtiene

s=\frac{1}{\sqrt3}.

Las áreas de triángulos equiláteros varían con el cuadrado de sus lados, así que la razón es

s^2=\frac{1}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

ABC

have side

1,

with

B=(0,0)

and

C=(1,0).

If the inner side is

s,

write

D=(d,0)

and

E=(d,s).

Since

E

lies on

AC,

s=\sqrt3(1-d).

The third inner vertex is

F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),

and

F

lies on

AB,

so

\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),

giving

d=\frac{2s}{\sqrt3}.

Substitution yields

s=\frac{1}{\sqrt3}.

Areas of equilateral triangles scale as the square of their sides, so the ratio is

s^2=\frac{1}{3}.

Thus the correct answer is C.