1992 AMC 12 Problema 19
Intenta el Problema 19 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
19.
Para cada vértice de un cubo macizo, considera el tetraedro determinado por el vértice y los puntos medios de las tres aristas que concurren en él. La parte del cubo que queda al cortar estos ocho tetraedros se llama cuboctaedro. ¿A cuál de los siguientes valores se aproxima más la razón entre el volumen del cuboctaedro y el volumen del cubo original?
For each vertex of a solid cube, consider the tetrahedron determined by the vertex and the midpoints of the three edges that meet at that vertex. The portion of the cube that remains when these eight tetrahedra are cut away is called a cuboctahedron. The ratio of the volume of the cuboctahedron to the volume of the original cube is closest to which of these?
Respuesta: D
Pista pequeña:
Elige una longitud de arista conveniente para el cubo y calcula el volumen de un tetraedro de esquina eliminado
Choose a convenient side length for the cube and compute one removed corner tetrahedron
Pista grande:
Cada tetraedro eliminado tiene tres aristas mutuamente perpendiculares de longitud igual a la mitad de la arista del cubo
Each removed tetrahedron has three mutually perpendicular edges equal to half the cube’s side
Solución:
Toma la longitud de la arista del cubo como Su volumen es Cada tetraedro de esquina tiene tres aristas perpendiculares de longitud así que su volumen es Los ocho tetraedros eliminados tienen volumen total y queda La razón es que se aproxima más a
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Take the cube’s side length to be Its volume is Each corner tetrahedron has three perpendicular edges of length so its volume is The eight removed tetrahedra have total volume leaving The ratio is which is closest to
Thus the correct answer is D.
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