1992 AMC 12 Problema 16

Question

Si tres números positivos y distintos

x,

y,

y

z

satisfacen

\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}

entonces

\frac{x}{y}=

If

\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}

for three positive numbers

x,

y,

and

z,

all different, then

\frac{x}{y}=

\frac12

\frac35

\frac23

\frac53

2

Respuesta: E

Conceptos:proportion algebraic system quadratic equation

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sea

r=\frac{x}{y}

y expresa

\frac{z}{y}

usando la razón central

Let

r=\frac{x}{y}

and express

\frac{z}{y}

using the middle ratio

Pista grande:

Sustituye

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}

en la primera razón

Substitute

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}

into the first ratio

Solución:

Sea

r=\frac{x}{y}\gt0.

De

\frac{x+y}{z}=r,

se obtiene

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.

Entonces

\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.

Por tanto,

r^2-r-1=1,

o

r^2-r-2=0.

Así,

r=2

o

-1,

y la positividad da

r=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

r=\frac{x}{y}\gt0.

From

\frac{x+y}{z}=r,

we get

\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.

Then

\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.

Thus

r^2-r-1=1,

or

r^2-r-2=0.

Hence

r=2

or

-1,

and positivity gives

r=2.

Thus the correct answer is E.