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1989 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

En △ABC,\triangle ABC, AB=5,AB=5, BC=7,BC=7, AC=9AC=9 y DD está en AC‾\overline{AC} con BD=5.BD=5. Halla AD:DC.AD:DC.
In △ABC,\triangle ABC, AB=5,AB=5, BC=7,BC=7, AC=9AC=9 and DD is on AC‾\overline{AC} with BD=5.BD=5. Find the ratio AD:DC.AD:DC.
4:34:3
7:57:5
11:611:6
13:513:5
19:819:8
Respuesta: E
Conceptos:Teorema de Stewartrazón y proporción
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Sea AD=mAD=m y DC=9−mDC=9-m
Let AD=mAD=m and DC=9−mDC=9-m
Pista grande:
Aplica el teorema de Stewart a la ceviana BDBD
Apply Stewart’s Theorem to cevian BDBD
Solución:
Sea AD=mAD=m y DC=9−m.DC=9-m. Stewart da 72m+52(9−m)=9(52+m(9−m)). \begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered} Al simplificar, 9m2−57m=0,9m^2-57m=0, así que m=193.m=\frac{19}{3}. Entonces DC=83,DC=\frac{8}{3}, y AD:DC=19:8.AD:DC=19:8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let AD=mAD=m and DC=9−m.DC=9-m. Stewart’s Theorem gives 72m+52(9−m)=9(52+m(9−m)). \begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered} Simplifying yields 9m2−57m=0,9m^2-57m=0, so m=193.m=\frac{19}{3}. Then DC=83,DC=\frac{8}{3}, and AD:DC=19:8.AD:DC=19:8.
Thus the correct answer is E.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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