1987 AMC 12 Problema 14

Question

ABCD

es un cuadrado, y

M

y

N

son los puntos medios de

BC

y

CD,

respectivamente. Entonces

\sin\theta=

ABCD

is a square and

M

and

N

are the midpoints of

BC

and

CD,

respectively. Then

\sin\theta=

\frac{\sqrt5}{5}

\frac35

\frac{\sqrt{10}}5

\frac45

ninguna de estas

none of these

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe los vectores

\overrightarrow{AM}

y

\overrightarrow{AN}

Assign coordinates to the square and write vectors

\overrightarrow{AM}

and

\overrightarrow{AN}

Usa la fórmula del determinante para el seno del ángulo entre dos vectores

Use the determinant formula for the sine of the angle between two vectors

Toma un cuadrado de lado

2,

con

A=(0,0),\ M=(1,2),

y

N=(2,1).

Entonces

\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take the square to have side

2,

with

A=(0,0),\ M=(1,2),

and

N=(2,1).

Then

\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

El Problema 14 en otros años