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1985 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Si A=20∘A=20^\circ y B=25∘,B=25^\circ, entonces el valor de (1+tan⁡A)(1+tan⁡B)(1+\tan A)(1+\tan B) es
If A=20∘A=20^\circ and B=25∘,B=25^\circ, then the value of (1+tan⁡A)(1+tan⁡B)(1+\tan A)(1+\tan B) is
3\sqrt3
22
1+21+\sqrt2
2(tan⁡A+tan⁡B)2(\tan A+\tan B)
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: B
Conceptos:identidad trigonométricatrigonometría
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Usa A+B=45∘A+B=45^\circ en la fórmula de adición de la tangente
Use A+B=45∘A+B=45^\circ in the tangent addition formula
Pista grande:
Expresa tan⁡A+tan⁡B\tan A+\tan B en términos de tan⁡Atan⁡B\tan A\tan B
Express tan⁡A+tan⁡B\tan A+\tan B in terms of tan⁡Atan⁡B\tan A\tan B
Solución:
Como tan⁡(A+B)=tan⁡45∘=1,\tan(A+B)=\tan45^\circ=1, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B=1, \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1, por lo que tan⁡A+tan⁡B\tan A+\tan B =1−tan⁡Atan⁡B.=1-\tan A\tan B. Entonces (1+tan⁡A)(1+tan⁡B)=1+(1−tan⁡Atan⁡B)+tan⁡Atan⁡B=2. \begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned} La respuesta correcta es B.
Because tan⁡(A+B)=tan⁡45∘=1,\tan(A+B)=\tan45^\circ=1, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B=1, \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1, so tan⁡A+tan⁡B\tan A+\tan B =1−tan⁡Atan⁡B.=1-\tan A\tan B. Therefore (1+tan⁡A)(1+tan⁡B)=1+(1−tan⁡Atan⁡B)+tan⁡Atan⁡B=2. \begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned} Thus the correct answer is B.
Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

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