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1969 AMC 12 Problema 11

Intenta el Problema 11 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Dados los puntos P(−1,−2)P(-1,-2) y Q(4,2)Q(4,2) en el plano xyxy, se toma el punto R(1,m)R(1,m) de modo que PR+RQPR+RQ sea mínimo. Entonces mm es igual a:
Given points P(−1,−2)P(-1,-2) and Q(4,2)Q(4,2) in the xyxy-plane, point R(1,m)R(1,m) is taken so that PR+RQPR+RQ is a minimum. Then mm equals:
−35-\dfrac35
−25-\dfrac25
−15-\dfrac15
15\dfrac15
−15-\dfrac15 o 15\dfrac15
either −15-\dfrac15 or 15\dfrac15
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticapendientedesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 1640
Pista pequeña:
La desigualdad triangular se vuelve igualdad cuando P,P, RR y QQ son colineales
The triangle inequality is sharp when P,P, R,R, and QQ are collinear
Pista grande:
Halla el punto de la recta PQPQ cuya coordenada xx es 11
Find the point on line PQPQ whose xx-coordinate is 11
Solución:
Por la desigualdad triangular, PR+RQ≥PQ,PR+RQ\ge PQ, con igualdad cuando RR está en el segmento PQ.PQ. La pendiente de PQPQ es 2−(−2)4−(−1)=45.\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}. Al pasar de x=−1x=-1 a x=1x=1, la coordenada yy aumenta (45)(2)=85,(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5}, por lo que m=−2+85=−25. m=-2+\frac85=-\frac25.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
By the triangle inequality, PR+RQ≥PQ,PR+RQ\ge PQ, with equality when RR lies on segment PQ.PQ. The slope of PQPQ is 2−(−2)4−(−1)=45.\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}. Moving from x=−1x=-1 to x=1x=1 raises the yy-coordinate by (45)(2)=85,(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5}, so m=−2+85=−25. m=-2+\frac85=-\frac25.
Therefore, the correct answer is B.
Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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