2023 AMC 12B 第 20 题

Question

青蛙 Cyrus 先向某个方向跳

2

个单位，再向另一个方向跳

2

个单位。他落在离出发点小于

1

个单位处的概率是多少？

Cyrus the frog jumps

2

units in a direction, then

2

more in another direction. What is the probability that he lands less than

1

unit away from his starting position?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{\sqrt{3}}{8}

\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}

\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}

答案：E

知识点：几何概率余弦定理

难度评级：2110

小提示：

固定第一次跳跃沿

x

-轴；第二次跳跃形成一个均匀随机角

\theta

。

Fix the first jump along the

x

-axis; the second jump makes a uniformly random angle

\theta

大提示：

落点距离满足

R^2=8+8\cos\theta

；要求

R\lt 1

，即

\cos\theta\lt-\tfrac78

。

The landing distance satisfies

R^2=8+8\cos\theta;

require

R\lt 1,

i.e.

\cos\theta\lt-\tfrac78

解答：

取第一次跳跃为

(2,0)

，第二次为

(2\cos\theta,2\sin\theta)

，其中

\theta

在

[0,2\pi)

上均匀分布。落点距离满足

R^2=(2+2\cos\theta)^2

+(2\sin\theta)^2

=8+8\cos\theta

。需要

R\lt 1

，即

\cos\theta\lt-\tfrac78

。这样的角的测度为

2\arccos\tfrac78

，所以概率为

\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}

。利用

\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x

，并取

x=\tfrac14

，得到

\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14

，因此概率为

\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}

。

因此，正确答案是 E。

Take the first jump as

(2,0)

and the second as

(2\cos\theta,2\sin\theta)

with

\theta

uniform on

[0,2\pi).

The landing distance satisfies

R^2=(2+2\cos\theta)^2

+(2\sin\theta)^2

=8+8\cos\theta.

We need

R\lt 1,

i.e.

\cos\theta\lt-\tfrac78.

The measure of such angles is

2\arccos\tfrac78,

so the probability is

\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.

Using

\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x