Question

青蛙 Cyrus 先向某个方向跳 $2$ 个单位，再向另一个方向跳 $2$ 个单位。他落在离出发点小于 $1$ 个单位处的概率是多少？

Cyrus the frog jumps $2$ units in a direction, then $2$ more in another direction. What is the probability that he lands less than $1$ unit away from his starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}$

$\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}$

答案：E

知识点：几何概率余弦定理

难度评级：2110

解答：

取第一次跳跃为 $(2,0)$ ，第二次为 $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ ，其中 $\theta$ 在 $[0,2\pi)$ 上均匀分布。落点距离满足 $R^2=(2+2\cos\theta)^2$ $+(2\sin\theta)^2$ $=8+8\cos\theta$ 。需要 $R\lt 1$ ，即 $\cos\theta\lt-\tfrac78$ 。这样的角的测度为 $2\arccos\tfrac78$ ，所以概率为 $\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}$ 。利用 $\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x$ ，并取 $x=\tfrac14$ ，得到 $\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14$ ，因此概率为 $\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}$ 。

因此，正确答案是 E。

Take the first jump as $(2,0)$ and the second as $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ with $\theta$ uniform on $[0,2\pi).$ The landing distance satisfies $R^2=(2+2\cos\theta)^2$ $+(2\sin\theta)^2$ $=8+8\cos\theta.$ We need $R\lt 1,$ i.e. $\cos\theta\lt-\tfrac78.$ The measure of such angles is $2\arccos\tfrac78,$ so the probability is $\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}.$ Using $\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x$ with $x=\tfrac14$ gives $\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14,$ so the probability is $\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 20 题

答案：E

难度评级：2110

解答：

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