Question

在 Coinland，有三种硬币，面值分别为 $6$ ， $10$ ，和 $15$ 。无法凑出的最大金额的各位数字之和是多少？

In Coinland, there are three types of coins, each worth $6,$ $10,$ and $15.$ What is the sum of the digits of the maximum amount of money that is impossible to have?

$8$

$10$

$7$

$11$

$9$

答案：D

知识点：麦乐鸡定理

难度评级：1660

解答：

金额 $30,31,32,33,34,35$ 都能凑出（例如 $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ）。之后不断加上 $6$ 元硬币，就能凑出所有更大的金额。检查更小的数， $29$ 无法凑出：若不用 $15$ 元硬币，若干 $6$ 元和 $10$ 元硬币的总额为偶数；若用一枚 $15$ 元硬币，剩余的 $14$ 不能写成 $6a+10b;$ 两枚 $15$ 元硬币已经超过 $29.$ 所以最大无法凑出的金额是 $29,$ 其数位和为 $2+9=11.$

因此，正确答案是 D。

The amounts $30,31,32,33,34,35$ are all attainable (for instance $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ). Adding $6$ 's then reaches every larger amount. Checking below, $29$ is impossible: without a $15$ -coin a sum of $6$ 's and $10$ 's is even, while with one $15$ -coin the remaining $14$ cannot be written as $6a+10b;$ two $15$ -coins already exceed $29.$ So the largest impossible amount is $29,$ whose digit sum is $2+9=11.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B 第 16 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 16 题