2022 AMC 12A 第 18 题

Question

设

T_k

是坐标平面的一个变换：先将平面绕原点逆时针旋转

k

度，然后关于

y

轴反射。求最小的正整数

n

使得依次执行变换

T_1

，

T_2

，

T_3

，

\ldots

，

T_n

后，点

(1,0)

回到自身。

Let

T_k

be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane

k

degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the

y

-axis. What is the least positive integer

n

such that performing the sequence of transformations

T_1,

T_2,

T_3,

\ldots,

T_n

returns the point

(1,0)

back to itself?

359

360

719

720

721

答案：A

知识点：变换分类讨论

难度评级：2010

小提示：

角度为

\theta

的点在

T_k

下变为角度

(180-k)-\theta

A point at angle

\theta

is sent by

T_k

to angle

(180-k)-\theta

大提示：

追踪

(1,0)

的角度；还要考虑

n

为奇数、总变换为反射的情形

Track the angle of

(1,0);

also consider odd

n,

where the net map is a reflection

解答：

角度为

\theta

的点旋转

k^\circ

后角度变为

\theta+k

，再关于

y

轴反射会把角度

\phi

变为

180-\phi

。所以

T_k

把

\theta

变为

(180-k)-\theta

。

从角度

0

的点

(1,0)

出发，依次应用

T_1,T_2,\ldots

得到的角度为

179,-1,178,-2,177,\ldots

。经过偶数

2m

步后角度为

-m

，经过奇数

2m+1

步后角度为

179-m

。

点要回到原位，角度必须是

360^\circ

的倍数。偶数情形要求

m=360

，即

n=720

。奇数情形要求

179-m=0

，即

m=179

且

n=359

，此时总反射固定

(1,0)

。

满足条件的最小

n

是

359

。

因此，正确答案是 A。

Rotating a point at angle

\theta

by

k^\circ

gives

\theta+k,

and reflecting across the

y

-axis sends angle

\phi

to

180-\phi.

So

T_k

sends

\theta

to

(180-k)-\theta.

Starting from

(1,0)

at angle

0,

applying

T_1,T_2,\ldots

gives angles

179,-1,178,-2,177,\ldots.

After an even number

2m

of steps the angle is

-m,

and after an odd number

2m+1

it is

179-m.

For the point to return, the angle must be a multiple of

360^\circ.

The even case needs

m=360,

i.e.

n=720.

The odd case needs

179-m=0,

i.e.

m=179

and

n=359,

where the net reflection fixes

(1,0).

The least such

n

is

359.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 18 题

答案：A

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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