2022 AMC 12A 第 16 题

Question

三角数是可以写成

t_n=1+2+3+\cdots+n

形式的正整数，其中

n

为正整数。最小的三个同时也是完全平方数的三角数为

t_1=1=1^2

、

t_8=36=6^2

和

t_{49}=1225=35^2

。第四小的同时也是完全平方数的三角数的各位数字之和是多少？

A triangular number is a positive integer that can be expressed in the form

t_n=1+2+3+\cdots+n,

for some positive integer

n.

The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are

t_1=1=1^2,

t_8=36=6^2,

and

t_{49}=1225=35^2.

What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?

6

9

12

18

27

答案：D

知识点：三角形数完全平方数递推

难度评级：1800

小提示：

把

\frac{n(n+1)}{2}=y^2

改写为佩尔方程

(2n+1)^2-8y^2=1

Rewrite

\frac{n(n+1)}{2}=y^2

as the Pell equation

(2n+1)^2-8y^2=1

大提示：

将

(2n+1)+y\sqrt8

乘以

3+\sqrt8

，依次生成正整数解

Generate successive positive solutions by multiplying

(2n+1)+y\sqrt8

by

3+\sqrt8

解答：

若

t_n=y^2

，则

\frac{n(n+1)}{2}=y^2

，即

(2n+1)^2-8y^2=1

。正的佩尔方程解可依次通过将

(2n+1)+y\sqrt8

乘以

3+\sqrt8

得到。

从

(2n+1,y)=(3,1)

开始，依次得到

(17,6)

，

(99,35)

，然后是

(577,204)

。因此第四个值对应

n=288

，并且等于

204^2=41616

。

它的数位和为

4+1+6+1+6=18

。

因此，正确答案是 D。

If

t_n=y^2,

then

\frac{n(n+1)}{2}=y^2,

or

(2n+1)^2-8y^2=1.

The positive Pell solutions occur successively by multiplying

(2n+1)+y\sqrt8

by

3+\sqrt8.

Starting from

(2n+1,y)=(3,1),

this gives

(17,6),

(99,35),

and then

(577,204).

Thus the fourth value has

n=288

and equals

204^2=41616.

The sum of its digits is

4+1+6+1+6=18.

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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