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2020 AMC 12B 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

在正方形 ABCDABCD 中，点 EE 和 HH 分别在 AB‾\overline{AB} 和 DA‾\overline{DA} 上，且 AE=AHAE = AH。点 FF 和 GG 分别在 BC‾\overline{BC} 和 CD‾\overline{CD} 上，点 II 和 JJ 在 EH‾\overline{EH} 上，并满足 FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH}、GJ‾⊥EH‾\overline{GJ} \perp \overline{EH}。见下图。三角形 AEHAEH、四边形 BFIEBFIE、四边形 DHJGDHJG 和五边形 FCGJIFCGJI 的面积都为 11。求 FI2FI^2。

In square ABCD,ABCD, points EE and HH lie on AB‾\overline{AB} and DA‾,\overline{DA}, respectively, so that AE=AH.AE = AH. Points FF and GG lie on BC‾\overline{BC} and CD‾,\overline{CD}, respectively, and points II and JJ lie on EH‾\overline{EH} so that FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH} and GJ‾⊥EH‾.\overline{GJ} \perp \overline{EH}. See the figure below. Triangle AEH,AEH, quadrilateral BFIE,BFIE, quadrilateral DHJG,DHJG, and pentagon FCGJIFCGJI each has area 1.1. What is FI2?FI^2?

73\dfrac73

8−428 - 4\sqrt{2}

1+21 + \sqrt{2}

742\dfrac74 \sqrt{2}

222\sqrt{2}

答案：B
知识点：坐标几何面积分割特殊直角三角形
难度评级：1910
解答：

四个区域总面积为 44 所以正方形边长为 22 取 A=(0,0)A = (0, 0) B=(2,0)B = (2, 0) C=(2,2)C = (2, 2) D=(0,2)D = (0, 2) 由于 △AEH\triangle AEH 是面积为 11 的等腰直角三角形，所以 AE=AH=2AE = AH = \sqrt2 从而 E=(2,0)E = (\sqrt2, 0)，H=(0,2)H = (0, \sqrt2) 直线 EHEH 的方程为 x+y=2x + y = \sqrt2。

设 F=(2,t)F = (2, t) 它到直线 EHEH 的垂直距离为 FI=2+t−22FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2} 令 s=FI/2=2+t−22s=FI/\sqrt2=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2} 并利用四边形 I=(2−s,t−s)I=(2-s,t-s) 的面积为 11 解得 B=(2,0)B=(2,0)， FF， II， E=(2,0)E=(\sqrt2,0) [BFIE]=s2−(3−22)[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2)。 s2=4−22s^2=4-2\sqrt2。

因此 FI2=2s2=8−42FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2。

所以正确答案是 B。

The four regions have total area 4,4, so the square has side 2.2. Put A=(0,0),A = (0, 0), B=(2,0),B = (2, 0), C=(2,2),C = (2, 2), D=(0,2).D = (0, 2). Since △AEH\triangle AEH is an isosceles right triangle with area 1,1, we get AE=AH=2,AE = AH = \sqrt2, so E=(2,0)E = (\sqrt2, 0) and H=(0,2).H = (0, \sqrt2). Line EHEH is x+y=2.x + y = \sqrt2.

Let F=(2,t).F = (2, t). Its perpendicular distance to line EHEH is FI=2+t−22.FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}. Write s=FI/2=2+t−22,s=FI/\sqrt2=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2}, so the foot of the perpendicular is I=(2−s,t−s).I=(2-s,t-s). The shoelace formula on B=(2,0),B=(2,0), F,F, I,I, and E=(2,0)E=(\sqrt2,0) gives [BFIE]=s2−(3−22).[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2). Since this area is 1,1, we get s2=4−22.s^2=4-2\sqrt2.

Then FI2=2s2=8−42.FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

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