2020 AMC 12B 第 18 题

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18.

在正方形

ABCD

中，点

E

和

H

分别在

\overline{AB}

和

\overline{DA}

上，且

AE = AH

。点

F

和

G

分别在

\overline{BC}

和

\overline{CD}

上，点

I

和

J

在

\overline{EH}

上，并满足

\overline{FI} \perp \overline{EH}

、

\overline{GJ} \perp \overline{EH}

。见下图。三角形

AEH

、四边形

BFIE

、四边形

DHJG

和五边形

FCGJI

的面积都为

1

。求

FI^2

。

In square

ABCD,

points

E

and

H

lie on

\overline{AB}

and

\overline{DA},

respectively, so that

AE = AH.

Points

F

and

G

lie on

\overline{BC}

and

\overline{CD},

respectively, and points

I

and

J

lie on

\overline{EH}

so that

\overline{FI} \perp \overline{EH}

and

\overline{GJ} \perp \overline{EH}.

See the figure below. Triangle

AEH,

quadrilateral

BFIE,

quadrilateral

DHJG,

and pentagon

FCGJI

each has area

1.

What is

FI^2?

\dfrac73

8 - 4\sqrt{2}

1 + \sqrt{2}

\dfrac74 \sqrt{2}

2\sqrt{2}

答案：B

知识点：坐标几何面积分割特殊直角三角形

难度评级：1910

小提示：

四个区域铺满正方形，所以正方形面积为

4

，边长为

2

。

The four regions tile the square, so its area is

4

and its side is

2

大提示：

\triangle AEH

是面积为

1

的等腰直角三角形，所以

AE = \sqrt2

；建立坐标系并利用

BFIE

的面积。

\triangle AEH

is an isosceles right triangle of area

1,

so

AE = \sqrt2;

set coordinates and use the area of

BFIE

解答：

四个区域总面积为

4

，所以正方形边长为

2

。取

A = (0, 0)

、

B = (2, 0)

、

C = (2, 2)

、

D = (0, 2)

。由于

\triangle AEH

是面积为

1

的等腰直角三角形，所以

AE = AH = \sqrt2

，从而

E = (\sqrt2, 0)

，

H = (0, \sqrt2)

。直线

EH

的方程为

x + y = \sqrt2

。

设

F = (2, t)

。它到直线

EH

的垂直距离为

FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}

。令

s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2}

，则垂足为

I=(2-s,t-s)

。对

B=(2,0)

、

F

、

I

、

E=(\sqrt2,0)

使用鞋带公式，得到

[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2)

。由于该面积为

1

，所以

s^2=4-2\sqrt2

。

因此

FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2

。

所以正确答案是 B。

The four regions have total area

4,

so the square has side

2.

Put

A = (0, 0),

B = (2, 0),

C = (2, 2),

D = (0, 2).

Since

\triangle AEH

is an isosceles right triangle with area

1,

we get

AE = AH = \sqrt2,

so

E = (\sqrt2, 0)

and

H = (0, \sqrt2).

Line

EH

is

x + y = \sqrt2.

Let

F = (2, t).

Its perpendicular distance to line

EH

is

FI = \tfrac{2 + t - \sqrt2}{\sqrt2}.

Write

s=\frac{FI}{\sqrt2}=\tfrac{2+t-\sqrt2}{2},

so the foot of the perpendicular is

I=(2-s,t-s).

The shoelace formula on

B=(2,0),

F,

I,

and

E=(\sqrt2,0)

gives

[BFIE]=s^2-(3-2\sqrt2).

Since this area is

1,

we get

s^2=4-2\sqrt2.

Then

FI^2 = 2s^2 = 8 - 4\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

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