2019 AMC 12B 第 23 题

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23.

有多少个由

0

和

1

组成的长度为

19

的序列，满足以

0

开头、以

0

结尾、不含两个连续的

0

，且不含三个连续的

1

？

How many sequences of

0

s and

1

s of length

19

are there that begin with a

0,

end with a

0,

contain no two consecutive

0

s, and contain no three consecutive

1

s?

55

60

65

70

75

答案：C

知识点：分拆与有序分拆组合分类讨论

难度评级：2050

小提示：

相邻两个

0

之间是一段一个或两个

1

组成的块

Between consecutive

0

s there is a block of one or two

1

s

大提示：

若有

k

个零，则有

k-1

个大小为

1

或

2

的块，其大小和为

19-k

。

With

k

zeros there are

k-1

blocks of size

1

or

2

whose sizes sum to

19-k

解答：

没有两个

0

相邻，所以

0

之间由若干

1

的块隔开，每块大小为

1

或

2

（不能为

3

）。若有

k

个零，则有

k-1

个这样的块，合计

19-k

个一。

大小为

2

的块数为

(19-k)-(k-1)=20-2k

，它必须满足

0\le20-2k\le k-1

，即

7\le k\le10

。

对

k=7,8,9,10

求和

\binom{k-1}{20-2k}

得到

\binom66+\binom74+\binom82+\binom90

=1+35+28+1

=65

。

所以正确答案是 C。

No two

0

s are adjacent, so the

0

s are separated by blocks of

1

s, each of size

1

or

2

(never

3

). If there are

k

zeros, there are

k-1

such blocks summing to

19-k

ones.

The number of size-

2

blocks is

(19-k)-(k-1)=20-2k,

which must satisfy

0\le20-2k\le k-1,

i.e.

7\le k\le10.

Summing

\binom{k-1}{20-2k}

over

k=7,8,9,10

gives

\binom66+\binom74+\binom82+\binom90

=1+35+28+1

=65.

Thus, C is the correct answer.

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