Question

有多少个由 $0$ 和 $1$ 组成的长度为 $19$ 的序列，满足以 $0$ 开头、以 $0$ 结尾、不含两个连续的 $0$ ，且不含三个连续的 $1$ ？

How many sequences of $0$ s and $1$ s of length $19$ are there that begin with a $0,$ end with a $0,$ contain no two consecutive $0$ s, and contain no three consecutive $1$ s?

$55$

$60$

$65$

$70$

$75$

答案：C

知识点：分拆与有序分拆组合分类讨论

难度评级：2050

解答：

没有两个 $0$ 相邻，所以 $0$ 之间由若干 $1$ 的块隔开，每块大小为 $1$ 或 $2$ （不能为 $3$ ）。若有 $k$ 个零，则有 $k-1$ 个这样的块，合计 $19-k$ 个一。

大小为 $2$ 的块数为 $(19-k)-(k-1)=20-2k$ ，它必须满足 $0\le20-2k\le k-1$ ，即 $7\le k\le10$ 。

对 $k=7,8,9,10$ 求和 $\binom{k-1}{20-2k}$ 得到 $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65$ 。

所以正确答案是 C。

No two $0$ s are adjacent, so the $0$ s are separated by blocks of $1$ s, each of size $1$ or $2$ (never $3$ ). If there are $k$ zeros, there are $k-1$ such blocks summing to $19-k$ ones.

The number of size- $2$ blocks is $(19-k)-(k-1)=20-2k,$ which must satisfy $0\le20-2k\le k-1,$ i.e. $7\le k\le10.$

Summing $\binom{k-1}{20-2k}$ over $k=7,8,9,10$ gives $\binom66+\binom74+\binom82+\binom90$ $=1+35+28+1$ $=65.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2050

解答：

其他年份的第 23 题