2019 AMC 12B 第 20 题

Question

点

A(6,13)

和

B(12,11)

在平面中的圆

\omega

上。假设

\omega

在

A

和

B

处的切线相交于

x

-轴上的一点。

\omega

的面积是多少？

Points

A(6,13)

and

B(12,11)

lie on circle

\omega

in the plane. Suppose that the tangent lines to

\omega

at

A

and

B

intersect at a point on the

x

-axis. What is the area of

\omega?

\dfrac{83\pi}{8}

\dfrac{21\pi}{2}

\dfrac{85\pi}{8}

\dfrac{43\pi}{4}

\dfrac{87\pi}{8}

答案：C

知识点：圆切线坐标几何

难度评级：2050

小提示：

相等的切线长说明交点到

A

和

B

的距离相等

Equal tangent lengths put the intersection point equidistant from

A

and

B

大提示：

先找出

x

-轴上的交点，再用

OA\perp PA

和

OB\perp PB

定位圆心

O

。

Find that point on the

x

-axis, then use

OA\perp PA

and

OB\perp PB

to locate the center

O

解答：

设切线交点为

P=(x,0)

。相等切线长给出

PA=PB

，所以

(x-6)^2+13^2

=(x-12)^2+11^2

，得

x=5

，即

P=(5,0)

。

圆心

O=(h,k)

满足

OA\perp PA

和

OB\perp PB

。因为

PA=(1,13)

且

PB=(7,11)

，得到

h+13k=175

和

7h+11k=205

，所以

O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)

。

于是

r^2=OA^2

=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2

=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8}

，所以面积为

\dfrac{85\pi}{8}

。

所以正确答案是 C。

Let

P=(x,0)

be the intersection. Equal tangent lengths give

PA=PB,

so

(x-6)^2+13^2

=(x-12)^2+11^2,

yielding

x=5

and

P=(5,0).

The center

O=(h,k)

satisfies

OA\perp PA

and

OB\perp PB.

With

PA=(1,13)

and

PB=(7,11),

these give

h+13k=175

and

7h+11k=205,

so

O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).

Then

r^2=OA^2

=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2

=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},

so the area is

\dfrac{85\pi}{8}.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2050

小提示：

大提示：

解答：

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