2018 AMC 12B 第 16 题

Question

方程

(z+6)^8=81

的解在复平面中连成一个凸正多边形，其中三个顶点标为

A

、

B

和

C

。

\triangle ABC

的最小可能面积是多少？

The solutions to the equation

(z+6)^8=81

are connected in the complex plane to form a convex regular polygon, three of whose vertices are labeled

A,

B,

and

C.

What is the least possible area of

\triangle ABC?

\dfrac{1}{6}\sqrt{6}

\dfrac{3}{2}\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}

2\sqrt{3}-2\sqrt{2}

\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

\sqrt{3}-1

答案：B

知识点：单位根正多边形三角形面积

难度评级：1990

小提示：

平移

6

不改变形状；

z^8=81

的根形成正八边形。

Shifting by

6

does not change the shape; the roots of

z^8=81

form a regular octagon

大提示：

外接圆半径为

81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3

，最小三角形使用三个相邻顶点。

The circumradius is

81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3,

and the smallest triangle uses three consecutive vertices

解答：

平移

6

后，

z^8=81

的解是半径为

81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3

的圆上的八个点，构成正八边形。面积最小的三角形使用三个连续顶点。

取

A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right)

、

B=(\sqrt3,0)

和

C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right)

。此时

AC=\sqrt6

，高为

\sqrt3-\tfrac12\sqrt6

，所以面积为

\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2} \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 B。

Translating by

6,

the solutions of

z^8=81

are eight points on a circle of radius

81^{\frac{1}{8}}=\sqrt3,

forming a regular octagon. The minimum-area triangle uses three consecutive vertices.

Take

A=\left(\tfrac12\sqrt6,\tfrac12\sqrt6\right),

B=(\sqrt3,0),

and

C=\left(\tfrac12\sqrt6,-\tfrac12\sqrt6\right).

Then

AC=\sqrt6

and the height is

\sqrt3-\tfrac12\sqrt6,

so the area is

\begin{gathered} \tfrac12\cdot\sqrt6\left(\sqrt3-\tfrac12\sqrt6\right) \\ =\tfrac{3}{2}\sqrt2-\tfrac{3}{2}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12B 第 16 题

答案：B

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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