2017 AMC 12B 第 20 题

Question

实数

x

和

y

独立地从区间

(0, 1)

中均匀随机选取。若

\lfloor r \rfloor

表示小于或等于实数

r

的最大整数，那么

\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor

的概率是多少？

Real numbers

x

and

y

are chosen independently and uniformly at random from the interval

(0, 1).

What is the probability that

\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,

where

\lfloor r \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to the real number

r?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：D

知识点：几何概率取整函数等比数列

难度评级：1990

小提示：

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

当且仅当

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}

。

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactly when

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}

大提示：

对每个

n

，

x

和

y

都必须落在这个长度为

\dfrac{1}{2^n}

的区间内；把对应面积相加。

For each

n,

both

x

and

y

must land in that interval of length

\dfrac{1}{2^n};

sum the resulting areas

解答：

对每个正整数

n

，

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

当且仅当

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}

，这是长度为

\dfrac{1}{2^n}

的区间。两个取整值都等于

-n

的事件是面积为

\dfrac{1}{4^n}

的正方形。对所有

n

求和，概率为

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}\text{。}

所以正确答案是 D。

For each positive integer

n,

\lfloor \log_2 x \rfloor = -n

exactly when

\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},

an interval of length

\dfrac{1}{2^n}.

The event that both floors equal

-n

is a square of area

\dfrac{1}{4^n}.

Summing over all

n,

the probability is

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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