2017 AMC 12B 第 18 题

Question

将半径为

2

的圆的直径

\overline{AB}

延长到圆外一点

D

，使

BD = 3

。点

E

满足

ED = 5

，且直线

ED

垂直于直线

AD

。线段

\overline{AE}

与该圆相交于位于

A

和

E

之间的一点

C

。

\triangle ABC

的面积是多少？

The diameter

\overline{AB}

of a circle of radius

2

is extended to a point

D

outside the circle so that

BD = 3.

Point

E

is chosen so that

ED = 5

and line

ED

is perpendicular to line

AD.

Segment

\overline{AE}

intersects the circle at a point

C

between

A

and

E.

What is the area of

\triangle ABC?

\dfrac{120}{37}

\dfrac{140}{39}

\dfrac{145}{39}

\dfrac{140}{37}

\dfrac{120}{31}

答案：D

知识点：圆周角相似面积比

难度评级：1860

小提示：

\angle ACB

是半圆上的圆周角，所以是直角；因此

\triangle ABC \sim \triangle AED

。

\angle ACB

is inscribed in a semicircle, so it is a right angle; hence

\triangle ABC \sim \triangle AED

大提示：

它们的面积比为

AB^2 : AE^2

；计算

AE^2 = AD^2 + ED^2

。

Their areas are in ratio

AB^2 : AE^2;

compute

AE^2 = AD^2 + ED^2

解答：

因为

\angle ACB

是半圆上的圆周角，所以它是直角，因此

\triangle ABC \sim \triangle AED

（都是直角三角形且共享角

A

）。它们的面积比为

AB^2 : AE^2

。这里

AB = 4

，所以

AB^2 = 16

，且

AD = AB + BD = 7

，因此

AE^2 = AD^2 + ED^2

= 49 + 25

= 74

。

\triangle AED

的面积为

\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}

。所以

[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}\text{。}

所以正确答案是 D。

Since

\angle ACB

is inscribed in a semicircle, it is a right angle, so

\triangle ABC \sim \triangle AED

(both right-angled and sharing angle

A

). Their areas are in ratio

AB^2 : AE^2.

Here

AB = 4,

so

AB^2 = 16,

and

AD = AB + BD = 7,

so

AE^2 = AD^2 + ED^2

= 49 + 25

= 74.

The area of

\triangle AED

is

\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.

Thus

[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 18 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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