Question

将半径为 $2$ 的圆的直径 $\overline{AB}$ 延长到圆外一点 $D$ ，使 $BD = 3$ 。点 $E$ 满足 $ED = 5$ ，且直线 $ED$ 垂直于直线 $AD$ 。线段 $\overline{AE}$ 与该圆相交于位于 $A$ 和 $E$ 之间的一点 $C$ 。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

The diameter $\overline{AB}$ of a circle of radius $2$ is extended to a point $D$ outside the circle so that $BD = 3.$ Point $E$ is chosen so that $ED = 5$ and line $ED$ is perpendicular to line $AD.$ Segment $\overline{AE}$ intersects the circle at a point $C$ between $A$ and $E.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{120}{37}$

$\dfrac{140}{39}$

$\dfrac{145}{39}$

$\dfrac{140}{37}$

$\dfrac{120}{31}$

答案：D

知识点：圆周角相似面积比

难度评级：1860

解答：

因为 $\angle ACB$ 是半圆上的圆周角，所以它是直角，因此 $\triangle ABC \sim \triangle AED$ （都是直角三角形且共享角 $A$ ）。它们的面积比为 $AB^2 : AE^2$ 。这里 $AB = 4$ ，所以 $AB^2 = 16$ ，且 $AD = AB + BD = 7$ ，因此 $AE^2 = AD^2 + ED^2$ $= 49 + 25$ $= 74$ 。 $\triangle AED$ 的面积为 $\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}$ 。所以 $[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.$

所以正确答案是 D。

Since $\angle ACB$ is inscribed in a semicircle, it is a right angle, so $\triangle ABC \sim \triangle AED$ (both right-angled and sharing angle $A$ ). Their areas are in ratio $AB^2 : AE^2.$ Here $AB = 4,$ so $AB^2 = 16,$ and $AD = AB + BD = 7,$ so $AE^2 = AD^2 + ED^2$ $= 49 + 25$ $= 74.$ The area of $\triangle AED$ is $\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.$ Thus $[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 18 题

答案：D

难度评级：1860

解答：

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