Question

在下图中，以 $A$ 和 $B$ 为圆心、半径分别为 $2$ 和 $1$ 的半圆，画在一个以 $\overline{JK}$ 为直径的半圆内部，并与它共用底边。两个较小的半圆彼此外切，并且都与最大半圆内切。以 $P$ 为圆心的圆与两个较小半圆外切，并与最大半圆内切。以 $P$ 为圆心的圆的半径是多少？

In the figure below, semicircles with centers at $A$ and $B$ and with radii $2$ and $1,$ respectively, are drawn in the interior of, and sharing bases with, a semicircle with diameter $\overline{JK}.$ The two smaller semicircles are externally tangent to each other and internally tangent to the largest semicircle. A circle centered at $P$ is drawn externally tangent to the two smaller semicircles and internally tangent to the largest semicircle. What is the radius of the circle centered at $P?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt3$

$\dfrac{5}{8}\sqrt2$

$\dfrac{11}{12}$

答案：B

知识点：相切圆勾股定理坐标几何

难度评级：1840

解答：

大半圆半径为 $3$ ，圆心 $C$ 是 $\overline{JK}$ 的中点。把 $J$ 放在原点，则沿底边有 $A=2$ 、 $B=5$ 、 $C=3$ 、 $K=6$ 。设 $P$ 处圆的半径为 $r$ 。

由相切可知 $PA=2+r$ ， $PB=1+r$ ，且 $PC=3-r$ 。从 $P$ 向底边作垂线，垂足的水平位置为 $3+x$ ，高度为 $h$ ，由勾股定理得 $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

这些式子化为关于 $5r-x=3$ 和 $2r+x=3$ 的两个线性方程，其解为 $r=\dfrac{6}{7}$ （且 $7r=6$ ）。

所以正确答案是 B。

The large semicircle has radius $3$ and center $C,$ the midpoint of $\overline{JK}.$ Placing $J$ at the origin, $A=2,$ $B=5,$ $C=3,$ $K=6$ along the base. Let $r$ be the radius of the circle at $P.$

By tangency, $PA=2+r,$ $PB=1+r,$ and $PC=3-r.$ Dropping a perpendicular from $P$ to the base at horizontal position $3+x$ with height $h,$ the Pythagorean theorem gives $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

Equating the first expression with the middle one gives $5r-x=3,$ while equating the last expression with the middle one gives $2r+x=3.$ Adding yields $7r=6,$ so $r=\dfrac{6}{7}.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A 第 16 题

答案：B

难度评级：1840

解答：

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