2015 AMC 12B 第 23 题

Question

一个长方体的尺寸为

a \times b \times c

，其中

a

，

b

，和

c

是整数，且

1 \le a \le b \le c

。这个长方体的体积和表面积在数值上相等。有多少个有序三元组

(a, b, c)

是可能的？

A rectangular box measures

a \times b \times c,

where

a,

b,

and

c

are integers and

1 \le a \le b \le c.

The volume and the surface area of the box are numerically equal. How many ordered triples

(a, b, c)

are possible?

4

10

12

21

26

答案：B

知识点：丢番图方程因式分解分类讨论

难度评级：2340

小提示：

条件是

abc = 2(ab + bc + ca)

，且

1 \le a \le b \le c

。

The condition is

abc = 2(ab + bc + ca)

with

1 \le a \le b \le c

大提示：

证明

a \le 6

，然后对每个固定的

a

，把方程因式分解为一个等于常数的乘积

Show

a \le 6,

then for each fixed

a

factor the equation into a product equal to a constant

解答：

体积和表面积在数值上相等，意味着

abc=2(ab+bc+ca)

。两边除以

abc

得

1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a}

，所以

a\le6

。情形

a=1

和

a=2

都没有正数解。当

a\ne2

时，令

\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a \end{gathered}\text{。}

原方程可因式分解为

uv=4a^2

。

当

a=3

时，

(b-6)(c-6)=36

给出

(b,c)=(7,42)

，

(8,24)

，

(9,18)

，

(10,15)

，

(12,12)

。当

a=4

时，

(b-4)(c-4)=16

给出

(5,20),(6,12),(8,8)

。当

a=5

时，两个因数模

3

的同余条件只留下有效数对

(b,c)=(5,10)

，当

a=6

时，

(b-3)(c-3)=9

只留下

(b,c)=(6,6)

。因此共有

5+3+1+1=10

个三元组。

因此，正确答案是 B。

Numerically equal volume and surface area means

abc=2(ab+bc+ca).

Dividing by

abc

gives

1=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\le\frac{6}{a},

so

a\le6.

The cases

a=1

and

a=2

give no positive solutions. For

a\ne2,

set

\begin{gathered} u=(a-2)b-2a,\\ v=(a-2)c-2a. \end{gathered}

The equation then factors as

uv=4a^2.

For

a=3,

(b-6)(c-6)=36

gives

(b,c)=(7,42),

(8,24),

(9,18),

(10,15),

(12,12).

For

a=4,

(b-4)(c-4)=16

gives

(5,20),(6,12),(8,8).

For

a=5,

the congruence of the two factors modulo

3

leaves only the valid pair

(b,c)=(5,10),

and for

a=6,

(b-3)(c-3)=9

leaves only

(b,c)=(6,6).

Thus there are

5+3+1+1=10

triples.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B 第 23 题

答案：B

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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