2015 AMC 12A 第 23 题

Question

设

S

是边长为

1

的正方形。在

S

的边上独立随机选取两个点。这两点之间的直线距离至少为

\dfrac12

的概率是

\dfrac{a - b\pi}{c}

，其中

a

，

b

，和

c

是正整数且

\gcd(a, b, c) = 1

。求

a + b + c

？

Let

S

be a square of side length

1.

Two points are chosen independently at random on the sides of

S.

The probability that the straight-line distance between the points is at least

\dfrac12

is

\dfrac{a - b\pi}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers and

\gcd(a, b, c) = 1.

What is

a + b + c?

59

60

61

62

63

答案：A

知识点：几何概率分类讨论

难度评级：2380

小提示：

根据两个点是否在同一边、对边或相邻边上分类

Condition on whether the two points lie on the same side, opposite sides, or adjacent sides

大提示：

相邻边的情况会通过半径为

\dfrac12

的四分之一圆产生

\pi

项

The adjacent-sides case produces the

\pi

term via a quarter-circle of radius

\dfrac12

解答：

第二个点与第一个点在同一边上的概率为

\dfrac14

，在对边上的概率为

\dfrac14

，在相邻边上的概率为

\dfrac12

。

对边： 距离总是至少为

1 \ge \dfrac12

，概率为

1

。

同一边： 对点

(a, 0)

和

(b, 0)

，条件

|a - b| \ge \dfrac12

的概率为

\dfrac14

。

相邻边： 对点

(a, 0)

和

(0, b)

，条件

\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12

是半径为

\dfrac12

的四分之一圆外部的区域，概率为

1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}

。

总概率为

\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}\text{。} \end{aligned}

因此

a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59

。

因此，正确答案是 A。

The second point is on the same side as the first with probability

\dfrac14,

on the opposite side with probability

\dfrac14,

and on an adjacent side with probability

\dfrac12.

Opposite sides: the distance is at least

1 \ge \dfrac12

always, probability

1.

Same side: for points

(a, 0)

and

(b, 0),

the condition

|a - b| \ge \dfrac12

has probability

\dfrac14.

Adjacent sides: for points

(a, 0)

and

(0, b),

the condition

\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12

is the region outside a quarter-circle of radius

\dfrac12,

with probability

1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.

The total probability is

\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}

Thus

a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A 第 23 题

答案：A

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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