2014 AMC 12B 第 16 题

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16.

设

P

是一个三次多项式，满足

P(0) = k

、

P(1) = 2k

且

P(-1) = 3k

。

P(2) + P(-2)

等于多少？

Let

P

be a cubic polynomial with

P(0) = k,

P(1) = 2k,

and

P(-1) = 3k.

What is

P(2) + P(-2)?

0

k

6k

7k

14k

答案：E

知识点：多项式方程组对称性（代数）

难度评级：1950

小提示：

利用

P(0)=k

，写

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k

。

Write

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k

using

P(0)=k

大提示：

把

P(1)

和

P(-1)

相加可分离出

b

，且

P(2)+P(-2) = 8b + 2k

。

Adding

P(1)

and

P(-1)

isolates

b,

and

P(2)+P(-2) = 8b + 2k

解答：

因为

P(0) = k

，写作

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k

。

于是

P(1) = a+b+c+k = 2k

，且

P(-1) = -a+b-c+k = 3k

。两式相加得

2b + 2k = 5k

，所以

2b = 3k

。

在和中奇次项抵消：

\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k\text{。} \end{gathered}

因为

8b = 4(2b) = 12k

，所以这个和等于

12k + 2k = 14k

。

所以正确答案是 E。

Since

P(0) = k,

write

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.

Then

P(1) = a+b+c+k = 2k

and

P(-1) = -a+b-c+k = 3k.

Adding these gives

2b + 2k = 5k,

so

2b = 3k.

The odd-power terms cancel in the sum:

\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}

Since

8b = 4(2b) = 12k,

this equals

12k + 2k = 14k.

Thus, the correct answer is E.

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