Question

令 $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ ，并对 $n\ge1$ ，定义 $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$ 。有多少个 $x$ 值满足 $f_{100}(x)=0$ ？

Let $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|,$ and for $n\ge1,$ let $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.$ For how many values of $x$ is $f_{100}(x)=0?$

$299$

$300$

$301$

$302$

$303$

答案：C

知识点：绝对值递推交点计数

难度评级：2520

解答：

若 $f_{n-1}(x)=\pm k$ ，则 $f_n(x)=k-1$ 。因此，如果 $f_0(x)=\pm k$ ，其中 $k$ 是非负整数，那么 $f_k(x)=0$ ，此后的值按 $0,-1,0,\ldots$ 交替出现。所以， $f_{100}(x)=0$ 当且仅当对某个整数 $-50\le k\le50$ ，有 $f_0(x)=2k$ 。

函数 $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ 在 $x\lt-100$ 时等于 $x+200$ ，在 $-100\le x\lt100$ 时等于 $-x$ ，在 $x\ge100$ 时等于 $x-200$ 。它的图像是分段直线，转折点为 $(-100,100)$ 和 $(100,-100)$ 。

当 $-49\le k\le49$ 时，直线 $y=2k$ 与图像有三个交点；当 $k=\pm50$ 时，各有两个交点。交点总数为 $99\cdot3+2\cdot2=301$ 。

所以正确答案是 C。

If $f_{n-1}(x)=\pm k,$ then $f_n(x)=k-1.$ So if $f_0(x)=\pm k$ for a nonnegative integer $k,$ then $f_k(x)=0,$ after which the sequence alternates $0,-1,0,\ldots$ Thus $f_{100}(x)=0$ exactly when $f_0(x)=2k$ for some integer $-50\le k\le50.$

Now $f_0(x)=x+|x-100|$ $-|x+100|$ equals $x+200$ for $x\lt-100,$ $-x$ for $-100\le x\lt100,$ and $x-200$ for $x\ge100.$ Its graph is piecewise linear with turning points $(-100,100)$ and $(100,-100).$

A line $y=2k$ meets this graph three times for $-49\le k\le49$ and twice for $k=\pm50.$ The total is $99\cdot3+2\cdot2=301.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A 第 24 题

答案：C

难度评级：2520

解答：

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