Question

在乘积 $(8)(888\ldots8)$ 中，第二个因数有 $k$ 位数字。该乘积是一个各位数字之和为 $1000$ 的整数。 $k$ 是多少？

The product $(8)(888\ldots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

按位乘法并处理进位可得 $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04$ ，其中有 $k-2$ 个数字一。

各位数字之和为 $7+(k-2)+0+4=k+9$ 。令 $k+9=1000$ ，得到 $k=991$ 。

所以正确答案是 D。

By carrying out the multiplication, $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04,$ which has $k-2$ ones.

The digit sum is $7+(k-2)+0+4=k+9.$ Setting $k+9=1000$ gives $k=991.$

Thus, the correct answer is D.