2012 AMC 12A 第 18 题

Question

三角形

ABC

满足

AB = 27

、

AC = 26

、

BC = 25

。设

I

为

\triangle ABC

内角平分线的交点。求

BI

？

Triangle

ABC

has

AB = 27,

AC = 26,

and

BC = 25.

Let

I

denote the intersection of the internal angle bisectors of

\triangle ABC.

What is

BI?

15

5 + \sqrt{26} + 3\sqrt{3}

3\sqrt{26}

\dfrac{2}{3}\sqrt{546}

9\sqrt{3}

答案：A

知识点：内切圆、内心与内切圆半径海伦公式勾股定理

难度评级：1980

小提示：

从

I

向边作垂线；从

B

引出的切线段长度为

s - b

Drop perpendiculars from

I

to the sides; the tangent segment from

B

has length

s - b

大提示：

用面积

= rs

和海伦公式求内切圆半径，再使用两直角边为

r

和

BD

的直角三角形

Find the inradius from area

= rs

and Heron’s formula, then use the right triangle with legs

r

and

BD

解答：

设

D

为内心

I

到

BC

的垂足。切线段长度

BD = s - AC

，其中

s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39

，所以

BD = 39 - 26 = 13

。

由海伦公式，面积为

\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}

，内切圆半径满足

r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}

= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}

= 56

。

在直角三角形

BDI

中，

BI^2 = r^2 + BD^2

= 56 + 169

= 225

，所以

BI = 15

。

因此，正确答案是 A。

Let

D

be the foot of the perpendicular from the incenter

I

to

BC.

The tangent length

BD = s - AC,

where

s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,

so

BD = 39 - 26 = 13.

By Heron’s formula the area is

\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},

and the inradius satisfies

r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}

= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}

= 56.

In right triangle

BDI,

BI^2 = r^2 + BD^2

= 56 + 169

= 225,

so

BI = 15.

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12A 第 18 题

答案：A

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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