2011 AMC 12A 第 18 题

先试着解答 2011 AMC 12A 第 18 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2011 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

假设

|x + y| + |x - y| = 2

。

x^2 - 6x + y^2

的最大可能值是多少？

Suppose that

|x + y| + |x - y| = 2.

What is the maximum possible value of

x^2 - 6x + y^2?

5

6

7

8

9

答案：D

知识点：绝对值最优化正方形（几何）

难度评级：1840

小提示：

方程

|x+y| + |x-y| = 2

表示

\max(|x|, |y|) = 1

，即正方形

[-1,1]^2

的边界

The equation

|x+y| + |x-y| = 2

means

\max(|x|, |y|) = 1,

the boundary of the square

[-1,1]^2

大提示：

在该正方形上，当

x = -1

且

y = \pm 1

时，

x^2 - 6x + y^2

最大

On that square,

x^2 - 6x + y^2

is largest when

x = -1

and

y = \pm 1

解答：

恒等式

|x+y| + |x-y|

= 2\max(|x|, |y|)

将条件变成

\max(|x|, |y|) = 1

，即满足

|x| \le 1

且

|y| \le 1

的正方形边界。

在这个区域上，

x^2 - 6x + y^2

会随着

x

变小以及

y^2

变大而增大，所以最大值在

x = -1

、

y = \pm 1

处取得：

1 + 6 + 1 = 8\text{。}

因此，正确答案是 D。

The identity

|x+y| + |x-y|

= 2\max(|x|, |y|)

turns the condition into

\max(|x|, |y|) = 1,

the boundary of the square with

|x| \le 1

and

|y| \le 1.

On this region

x^2 - 6x + y^2

increases as

x

decreases and as

y^2

increases, so the maximum is at

x = -1,

y = \pm 1:

1 + 6 + 1 = 8.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 18 题