2010 AMC 12B 第 20 题

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20.

某等比数列

(a_n)

满足

a_1=\sin x

，

a_2=\cos x

，且

a_3=\tan x

，其中

x

为某个实数。对哪个

n

有

a_n=1+\cos x

？

A geometric sequence

(a_n)

has

a_1=\sin x,

a_2=\cos x,

and

a_3=\tan x

for some real number

x.

For what value of

n

does

a_n=1+\cos x?

4

5

6

7

8

答案：E

知识点：等比数列三角恒等式

难度评级：2240

小提示：

公比为

r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x

；计算

a_4=a_3\cdot r

The common ratio is

r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;

compute

a_4=a_3\cdot r

大提示：

证明

a_4=1

且

1+\cos x=r^4

，再把

1+\cos x

写成

a_4\cdot r^4

Show

a_4=1

and

1+\cos x=r^4,

then write

1+\cos x

as

a_4\cdot r^4

解答：

公比为

r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x

。因此

a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1

。

由

a_3=a_1r^2

，得

\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}

，所以

\sin^2 x=\cos^3 x

，即

(\cos^2 x)(1+\cos x)=1

。

因此

1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}

。又

r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x}

，所以

r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x

。

所以

1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8

，因此

n=8

。

因此，正确答案是 E。

The common ratio is

r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.

Then

a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.

From

a_3=a_1r^2,

we get

\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},

so

\sin^2 x=\cos^3 x,

i.e.

(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.

Hence

1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.

Also

r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},

so

r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.

Therefore

1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,

so

n=8.

Thus, the correct answer is E.

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