2010 AMC 12B 第 18 题

Question

一只青蛙跳

3

次，每次恰好跳

1

米。每次跳跃的方向都是独立随机选择的。青蛙最终位置离起点不超过

1

米的概率是多少？

A frog makes

3

jumps, each exactly

1

meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog’s final position is no more than

1

meter from its starting position?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：C

知识点：几何概率随机游走

难度评级：2030

小提示：

把中间一跳固定在一条线段上；起点和终点由两个独立角度决定

Anchor the middle jump on a fixed segment; the start and end depend on two independent angles

大提示：

把条件化为这两个角度平面中的一个区域，再比较面积

Reduce the condition to a region in the plane of those two angles, then compare areas

解答：

这是一个连续的几何概率问题。把第二跳固定为从

P=(0,0)

到

Q=(1,0)

，令

\alpha,\beta

为第一跳和第三跳的方向，则起点为

A=(\cos\alpha,\sin\alpha)

，终点为

B=(1+\cos\beta,\sin\beta)

。

取

0\le\alpha\le\pi

和

0\le\beta\le2\pi

，条件

AB\le1

恰好等价于

\alpha\le\beta\le\pi

。

在面积为

2\pi^2

的

\alpha\beta

-矩形中，有利区域是面积

\tfrac{\pi^2}{2}

的三角形，所以概率为

\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14

。

因此，正确答案是 C。

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from

P=(0,0)

to

Q=(1,0),

and let

\alpha,\beta

be the directions of the first and third jumps, so the start is

A=(\cos\alpha,\sin\alpha)

and the end is

B=(1+\cos\beta,\sin\beta).

Taking

0\le\alpha\le\pi

and

0\le\beta\le2\pi,

the requirement

AB\le1

holds exactly when

\alpha\le\beta\le\pi.

In the

\alpha\beta

-rectangle of area

2\pi^2,

the favorable region is a triangle of area

\tfrac{\pi^2}{2},

so the probability is

\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14.

Thus, the correct answer is C.

2010 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

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