Question

梯形 $ABCD$ 满足 $AD \parallel BC$ 、 $BD = 1$ 、 $\angle DBA = 23^\circ$ 、 $\angle BDC = 46^\circ$ 。比值 $BC : AD$ 为 $9 : 5$ 。 $CD$ 是多少？

Trapezoid $ABCD$ has $AD \parallel BC,$ $BD = 1,$ $\angle DBA = 23^\circ,$ and $\angle BDC = 46^\circ.$ The ratio $BC : AD$ is $9 : 5.$ What is $CD?$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{13}{15}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{14}{15}$

答案：B

知识点：角平分线定理梯形平行线

难度评级：1800

解答：

过 $D$ 作平行于 $AB$ 的直线，与 $BC$ 交于 $E$ ，于是 $ABED$ 是平行四边形，且 $BE = AD$ 。于是 $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ$ ，又因为 $\angle BDC = 46^\circ$ ，所以 $DE$ 平分 $\angle BDC$ 。

在 $\triangle BDC$ 中由角平分线定理， $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB}$ ，所以 $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

所以正确答案是 B。

Draw the line through $D$ parallel to $AB,$ meeting $BC$ at $E,$ so $ABED$ is a parallelogram with $BE = AD.$ Then $\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ,$ and since $\angle BDC = 46^\circ,$ segment $DE$ bisects $\angle BDC.$

By the angle bisector theorem in $\triangle BDC,$ $\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB},$ so $\begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B 第 16 题

答案：B

难度评级：1800

解答：

其他年份的第 16 题