2009 AMC 12A 第 16 题

Question

一个圆心为

C

的圆与正

x

轴和正

y

轴都相切，并与圆心在

(3, 0)

、半径为

1

的圆外切。圆心为

C

的圆所有可能半径之和是多少？

A circle with center

C

is tangent to the positive

x

- and

y

-axes and externally tangent to the circle centered at

(3, 0)

with radius

1.

What is the sum of all possible radii of the circle with center

C?

3

4

6

8

9

答案：D

知识点：相切圆坐标几何韦达定理

难度评级：1910

小提示：

一个与两条正坐标轴都相切且半径为

r

的圆，圆心为

(r, r)

。

A circle tangent to both positive axes with radius

r

has center

(r, r)

大提示：

外切意味着

(r, r)

与

(3, 0)

的距离为

r + 1

；建立关于

r

的二次方程并使用韦达定理。

External tangency gives distance

r + 1

between

(r, r)

and

(3, 0);

form a quadratic in

r

and use Vieta

解答：

一个与两条正坐标轴都相切且半径为

r

的圆，圆心为

(r, r)

。与圆心

(3, 0)

、半径

1

的圆外切，意味着两圆心距离为

r + 1

：

(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2\text{。}

展开得

r^2 - 8r + 8 = 0

。两个根

r = 4 \pm 2\sqrt{2}

都为正，由韦达定理，它们的和为

8

。

因此，正确答案是 D。

A circle tangent to both positive axes with radius

r

has center

(r, r).

External tangency to the circle at

(3, 0)

of radius

1

means the distance between centers is

r + 1

:

(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.

Expanding gives

r^2 - 8r + 8 = 0.

Both roots

r = 4 \pm 2\sqrt{2}

are positive, and by Vieta’s formulas their sum is

8.

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12A 第 16 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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