2008 AMC 12A 第 18 题

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18.

边长为

5

，

6

和

7

的三角形

ABC

有一个顶点在正

x

-轴上，一个顶点在正

y

-轴上，一个顶点在正

z

-轴上。设

O

为原点。四面体

OABC

的体积是多少？

Triangle

ABC,

with sides of length

5,

6,

and

7,

has one vertex on the positive

x

-axis, one on the positive

y

-axis, and one on the positive

z

-axis. Let

O

be the origin. What is the volume of tetrahedron

OABC?

\sqrt{85}

\sqrt{90}

\sqrt{95}

10

\sqrt{105}

答案：C

知识点：立体几何方程组体积

难度评级：1910

小提示：

令三个顶点为

(a, 0, 0)

、

(0, b, 0)

、

(0, 0, c)

，写出三个边长方程。

Let the vertices be

(a, 0, 0),

(0, b, 0),

(0, 0, c)

and write the three side-length equations

大提示：

三个方程相加得到

a^2 + b^2 + c^2

，而体积为

\tfrac{1}{6}abc

。

Adding the three equations gives

a^2 + b^2 + c^2,

and the volume is

\tfrac{1}{6}abc

解答：

设

A = (a, 0, 0)

、

B = (0, b, 0)

、

C = (0, 0, c)

。于是

\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49 \end{aligned}\text{。}

将三个边长方程相加得

a^2 + b^2 + c^2 = 55

，所以

a^2 = 19

，

b^2 = 6

，

c^2 = 30

。

体积为

\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Let

A = (a, 0, 0),

B = (0, b, 0),

C = (0, 0, c).

Assigning the sides,

\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}

Adding gives

a^2 + b^2 + c^2 = 55,

so

a^2 = 19,

b^2 = 6,

and

c^2 = 30.

The volume is

\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}

Thus, C is the correct answer.

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