2007 AMC 12A 第 18 题

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18.

多项式

f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d

的系数为实数，且

f(2i)=f(2+i)=0

。求

a+b+c+d

？

The polynomial

f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d

has real coefficients, and

f(2i)=f(2+i)=0.

What is

a+b+c+d?

0

1

4

9

16

答案：D

知识点：复数多项式

难度评级：1630

小提示：

实系数保证共轭数

-2i

和

2-i

也都是根。

Real coefficients force the conjugates

-2i

and

2-i

to be roots as well

大提示：

f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)

；和

a+b+c+d

等于

f(1)-1

。

f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)

; the sum

a+b+c+d

equals

f(1)-1

解答：

因为

f

的系数为实数，所以共轭数

-2i

和

2-i

也是根。因此

\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20 \end{gathered}\text{。}

所以

a+b+c+d=-4+9

-16+20

=9

。等价地，

a+b+c+d=f(1)-1

=(1+4)(1+1)-1

=9

。

因此，正确答案是 D。

Since

f

has real coefficients, the conjugates

-2i

and

2-i

are also roots. Thus

\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}

Then

a+b+c+d=-4+9

-16+20

=9.

Equivalently,

a+b+c+d=f(1)-1

=(1+4)(1+1)-1

=9.

Thus, the correct answer is D.

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