2006 AMC 12A 第 18 题

Question

函数

f

具有如下性质：对其定义域中的每个实数

x

，

\frac{1}{x}

也在其定义域中，并且

f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x\text{。}

那么

f

的定义域中可能包含的最大实数集合是什么？

The function

f

has the property that for each real number

x

in its domain,

\frac{1}{x}

is also in its domain and

f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.

What is the largest set of real numbers that can be in the domain of

f?

\{x \mid x \neq 0\}

\{x \mid x \lt 0\}

\{x \mid x \gt 0\}

\{x \mid x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1\}

\{-1, 1\}

答案：E

知识点：函数方程换元法

难度评级：1890

小提示：

用

\frac{1}{x}

代替

x

得到第二个方程。

Substitute

\frac{1}{x}

in place of

x

to get a second equation

大提示：

比较两个方程会迫使

x = \frac{1}{x}

。

Comparing the two equations forces

x = \frac{1}{x}

解答：

用

\frac{1}{x}

替换

x

得

f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}

。与

f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x

合在一起，就要求

x = \tfrac{1}{x}

，所以

x = \pm 1

。

这两个值都一致，其中

f(1) = \tfrac{1}{2}

，

f(-1) = -\tfrac{1}{2}

。因此最大可能定义域为

\{-1, 1\}

。

因此，正确答案是 E。

Replacing

x

by

\frac{1}{x}

gives

f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.

Together with

f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,

this requires

x = \tfrac{1}{x},

so

x = \pm 1.

Both values are consistent, with

f(1) = \tfrac{1}{2}

and

f(-1) = -\tfrac{1}{2}.

So the largest possible domain is

\{-1, 1\}.

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A 第 18 题

答案：E

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题