2004 AMC 12B 第 16 题

Question

函数

f

定义为

f(z) = i\overline{z}

，其中

i = \sqrt{-1}

，

\overline{z}

是

z

的复共轭。有多少个

z

同时满足

|z| = 5

和

f(z) = z

？

A function

f

is defined by

f(z) = i\overline{z},

where

i = \sqrt{-1}

and

\overline{z}

is the complex conjugate of

z.

How many values of

z

satisfy both

|z| = 5

and

f(z) = z?

0

1

2

4

8

答案：C

知识点：复数坐标几何

难度评级：1610

小提示：

写成

z = x + iy

，并计算

i\overline{z}

。

Write

z = x + iy

and compute

i\overline{z}

大提示：

f(z) = z

会强制

y = x

，这是一条直线；再与圆

|z| = 5

相交。

f(z) = z

forces

y = x,

a line; intersect it with the circle

|z| = 5

解答：

写

z = x + iy

则

f(z) = i(x - iy) = y + ix

。令

f(z) = z

得

y = x

，这是一条过原点的直线。条件

|z| = 5

是一个圆，过圆心的直线与圆相交于

2

个点。

因此正确答案是 C。

Writing

z = x + iy,

we get

f(z) = i(x - iy) = y + ix.

Setting

f(z) = z

gives

y = x,

which is a line through the origin. The condition

|z| = 5

is a circle, and a line through the center meets the circle in

2

points.

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B 第 16 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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